Documents pédagogiques
& extensions théoriques

L’émergence, au début du 20e siècle, de polygones non-coplanaires et de polyèdres à faces non-planes (tels que ceux de Petrie-Coxeter et de Grünbaum) a contraint les géomètres, à ne plus faire référence aux notions de surface et de solide pour définir les polygones et les polyèdres. Nous nous proposons, dans ce document:

• de décrire quelques-uns de ces polygones non-coplanaires(gauches) et de ces polyèdres à faces non-planes;

• d’analyser des définitions des polygones et des polyèdres, qui tiennent compte de ces évolutions théoriques mais néanmoins adaptées aux élèves de l’enseignement obligatoire.

La plupart des disciplines scientifiques (chimie, biologie, physique, cristallographie, robotique…) recourent aujourd’hui largement aux notions de transformations du plan et de l’espace, de symétries au sens large, d’orientation du plan, d’orientation de l’espace, d’objets orientés, de polyèdres convexes à faces polygonales régulières…

Afin de permettre à tout élève d’acquérir les bases indispensables pour entreprendre des études supérieures scientifiques de son choix ou comprendre les réalités scientifiques et technologiques qui l’entourent, il est nécessaire, dans un souci d’équité sociale et de démocratisation des études, qu’une alphabétisation aux notions de géométrie actuelle soit enseignée dès le plus jeune âge.

Force est de constater que notre enseignement obligatoire actuel ne remplit pas ce souhait pourtant parfaitement légitime. Les techniques d’enseignement en spirale et génétique développées par J.S. Bruner et E. Wittmann permettent de familiariser les enfants, dès 5 ans, à ces outils mathématiques essentiels, grâce à un cours de géométrie qui assure une cohérence, une continuité et une progressivité des matières et des méthodes scientifiques sur toute la scolarité obligatoire.

Dans ce document, nous présenterons les concepts géométriques actuels clés, leur logique et leur utilité en nous basant sur des expériences menées depuis plus de 20 ans dans des classes réelles. Nous décrirons aussi la méthodologie adoptée et le matériel didactique utilisé en fonction de la maturité des élèves.

La programmation linéaire consiste à optimiser (minimiser ou maximiser) une fonction linéaire sous des contraintes elles aussi linéaires. On cherchera ainsi, par exemple, à rendre un bénéfice, exprimé par une fonction linéaire, le plus grand possible ou à rendre un coût, exprimé aussi par une fonction linéaire, le plus petit possible sous des contraintes linéaires.

Cette méthode a été mise au point par l’Américain Georges Bernard Dantzig (1914 - 2005).

La petite histoire veut que cette méthode, dit algorithme du simplexe, fut mise au point par Dantzig sur base d’un quiproquo. En effet, dans un de ses cours de doctorat à l'Université de Berkeley, le professeur Jerzy Neyman a proposé deux problèmes dits ouverts en statistiques. Un problème ouvert est un problème qui, bien qu'ayant été formulé, n'a pas encore été résolu. De tels problèmes sont d'une difficulté importante et demandent des recherches pouvant s'étaler sur plusieurs années. Dantzig était en retard et croyait qu'il s'agissait de devoirs. Sans prendre plusieurs années mais bien quelques jours, il les a résolus.

Ce document, mathématique et un peu artistique, démontrera que si on dessine sur les cotés d’un triangle rectangle trois figures semblables quelconques (par exemple un personnage de bande dessinée), alors la surface de la figure construite sur l’hypoténuse est égale à la somme des surfaces des figures semblables construites sur les deux autres cotés.

Ce document, démontrera le célèbre théorème des lunules d'Hippocrate de Chios

Il est bien connu qu’une corde à 13 nœuds ou une corde de longueur de 12 m permettait aux anciens de construire des murs et des clôtures à angle droit. Ce qui semble moins connu c’est qu’à partir d’une corde de longueur quelconque "L", il soit aussi possible d’engendrer une infinité de triangles rectangles (isopérimétriques), comme nous le montrerons au cours de ce document. Nous examinerons également la détermination de tous les triplets pythagoriciens afin de créer d’autres "cordes à angle droit" à valeurs entières.

L’émergence, au 20e siècle, de polygones non coplanaires et de polyèdres à faces non-planes (tels ceux de Petrie-Coxeter et de Grunbaum) a contraint les géomètres, à ne plus faire référence aux notions de surface et de solide pour définir les polygones et les polyèdres. Nous nous proposons, au cours de ce document de décrire quelques-uns de ces polygones et de ces polyèdres, d’analyser des définitions des polygones et des polyèdres et enfin de présenter la manière dont, dès l’enseignement primaire, on peut familiariser les élèves avec ces nouvelles définitions.

Jusqu'au début du 20e siècle, les polyèdres sont essentiellement des solides finis de l'espace déterminé par des plans. Cette vision entraîne assez naturellement la définition: "solides dont toutes les faces sont planes". Cette vision est stable jusqu'au 20e siècle, à deux exceptions près: la première est due à Léonard de Vinci (1452-1519) et la deuxième à Johannes Kepler (1571-1630). L’émergence, au 20e siècle, de polygones non coplanaires et de polyèdres à faces non-planes (tels ceux de Petrie-Coxeter et de Grunbaum) a contraint les géomètres, à ne plus faire référence aux notions de surface et de solide pour définir les polyèdres.

Ce travail, à vocation pédagogique et destiné aux élèves des deux dernières années du secondaire (16 - 18 ans), a pour objet de montrer que la recherche des symétries au sens large ou automorphismes de solides ne pose pas de problème si, d'une part, les élèves ont déjà abordé les automorphismes de figures planes telles que carrés, rectangles, losanges, parallélogrammes, triangles, polygones réguliers, cercles... et, d'autre part, si les différents types de déplacements et de retournements de l'espace sont abordés via la conservation ou l'inversion des types de mains.

Semblablement à toutes les branches scientifiques, la géométrie élémentaire évolue. Elle est passée de l'étude des transformations (isométries – homothéties – similitudes) pour elles-mêmes à une géométrie où les transformations sont des outils qui permettent, grâce à leurs propriétés, de découvrir et/ou démontrer les propriétés des objets géométriques du plan et de l'espace, de créer des figures ayant des régularités "répétitives" (frises – rosaces – tapisseries), de classer des objets du plan et de l'espace (cristallographie), de percevoir si un objet est orienté ou non orienté (paires d'objets énantiomères – formes "gauche" ou "droite" d'un objet – molécules chirales), de créer des objets (snub-cube - snub-dodécaèdre)...

Un pavage consiste à remplir le plan de motifs répétitifs et imbriqués sans trou ni chevauchement. Le saviez-vous? Il existe 15 types de sommets qui permettent de paver le plan… Pour plus d'informations...

Dans ce travail, nous aborderons de manière intuitive quelques concepts qui sous-tendent toute l'activité mathématique. Nous commencerons par préciser les notions de proposition, proposition quantifiée, conjonction, négation de propositions, négation de propositions quantifiées ainsi que la négation des conjonctions "et" et "ou". Ensuite, nous analyserons les concepts d'implication (inférence), d'équivalence, de définition et les principaux procédés de démonstration. Nous terminerons par l'examen des expressions "théorie mathématique" et "activité mathématique".

Le sujet de ce travail est la détermination des différents types de polyèdres euclidiens convexes à 4 - 5 - 6 et 7 faces. Nous partons de propriétés liées aux polyèdres convexes telles que le nombre de faces, les relations liant le nombre de sommets au nombre d’arêtes, les relations liant le nombre de faces au nombre d’arêtes,la relation d’Euler (F + S – A = 2). De plus, nous utilisons également une formule d’analyse combinatoire nous permettant d’obtenir le nombre de solutions potentielles afin de déterminer les différents types de polyèdres euclidiens convexes à sept faces.

Ce document a pour objectif de proposer une méthodologie, basée sur des situations problèmes concrètes et des animations, pour découvrir et/ou démontrer le théorème de Pythagore, sa réciproque, ses extensions dans les triangles rectangles.

Remarque: Entièreté du document sur CD uniquement

Ce document a pour objectif de découvrir et démontrer la relation d'Euler grâce aux diagrammes de Schlegel. Il reprend aussi une généralisation dans le plan et l'espace de dimension 4 (Caractérique d'Euler-Poincaré) ainsi que quelques apports que cette relation a pu apporter à l'étude des polyèdres convexes.

Ce document "clin d’oeil" est l’occasion de montrer que les dérivéessont aussi des outils pour résoudre des problèmes concrets. Ainsi, nous rechercherons parmi des croquettes de pommes de terre isovolumétriques celle qui sera la plus light après cuisson dans une friture. Nous étendrons cette même question parmi les croquettes cylindriques de surface minimale, les croquettes de forme cubique et les croquettes de forme sphérique.

Ce document regroupe trois thèmes:

• Règles des signes: le "pourquoi"?

• Tout nombre non nul exposant 0 donne 1

• Division par une fraction

Ce document a pour but de donner une méthode "raisonnée" pour déterminer le nombre de faces, de sommets et d'arêtes dans les polyèdres euclidiens plus complexes.

Le tétraèdre régulier est bien connu depuis Platon (5e siècle avant notre ère) et une de ses particularités est que toutes ses faces sont des triangles équilatéraux isométriques. Nous nous proposons dans ce document:

• de montrer, via un logiciel informatique, l’existence d’une infinité de tétraèdres euclidiens dont les faces sont des triangles isométriques non-équilatéraux;

• de préciser la nature des triangles avec lesquels il est possible d’obtenir de tels tétraèdres euclidiens;

• de construire ensemble de tels tétraèdres.

Ce document a pour objet de lever les confusions et les ambiguïtés existant au niveau des déplacements et des retournements en géométrie plane et en géométrie de l’espace tant du point de vue théorique que des modèles généralement choisis pour les illustrer.

En particulier, nous aborderons les cas des symétries centrales et des symétries orthogonales et montrerons que celles-ci ne gardent pas le même statut suivant que l'on se situe dans le plan ou dans l’espace.

Ce document a pour objet de lever les confusions et les ambiguïtés existant au niveau des déplacements et des retournements en géométrie plane et en géométrie de l’espace tant du point de vue théorique que des modèles généralement choisis pour les illustrer.

En particulier, nous aborderons les cas des symétries centrales et des symétries orthogonales et montrerons que celles-ci ne gardent pas le même statut suivant que l'on se situe dans le plan ou dans l’espace.

Ce cd regroupe les deux documents présentés ci-dessus ainsi qu'une animation:

• • Tétraèdres à faces régulières isométriques (T.E.F.I.)

  • Symétries orthogonales et symétries centrales en géométrie plane et en géométrie dans l'espace:
    Déplacements ou retournements?

Ce document a pour objectif de proposer une méthodologie, basée sur des situations problèmes concrètes et une énigme historique (le tunnel de Samos), pour découvrir et/ou démontrer la détermination univoque d'un triangle, les cas d'isométrie des triangles ainsi que leurs prolongements naturels vers les techniques utilisées par les géomètres experts et les arpenteurs.

Remarque: Entièreté du document sur CD uniquement

Dans ses éléments, Euclide affirme et démontre qu’il n’existe que cinq polyèdres euclidiens convexes à faces régulières isométriques; ce sont les fameux polyèdres platoniciens. Fort de cette affirmation, le problème de la détermination de tous les polyèdres euclidiens convexes à faces régulières isométriques ne suscita plus, pendant environ 23 siècles, de regard critique. En 1930, E. Dijsterhuis, attire l’attention sur l’homogénéité des faces et des sommets pour les polyèdres platoniciens et cite le bitétraèdre à faces régulières isométriques pour réfuter la thèse d’Euclide.

S’agissait-il d’une erreur d’Euclide passée inaperçue pendant 23 siècles?

Pour un volume déterminé, quelle est la frite la plus light parmi les frites à bases triangulaires, carrées et hexagonales?

Comment, au VIe siècle avant J-C, les esclaves de Samos sont-ils parvenus à creuser un tunnel au travers d'une montagne en partant simultanément des deux côtés?